题目

代数学中同态的思想及意义是什么?

提问时间：2021-02-19

答案

假设M,M′是两个乘集,也就是说M和M′是两个各具有一个闭合的结合法（一般写成乘法）的代数系,σ是M射到M′的映射,并且任意两个元的乘积的像是这两个元的像的乘积,即对于M中任意两个元a,b,满足σ（a·b）=σ（a）·σ（b）；也就是说,当a→σ（a）,b→σ（b）时,a·b→σ（a·b）,那么这映射σ就叫做M到M′上的同态.实际上这个概念就是把同构概念中的双射改成了一般的映射.如果σ是M射到M′内的映射,则称σ是M到M′内的同态；如果σ是M射到M′上的映射,则称σ是M到M′上的同态,此时又称M和M′同态
群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段.同构映射是群之间保持运算的映射,存在同构映射的两个群可以看成同一个群,因为它们有相同的群结构.代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类.
而同态映射只要求保持运算,显然它比同构映射更灵活,它能研究两个不同构的群之间的联系.特别重要的是几个同态定理,如同态基本定理告诉我们,两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构（G1/kerf≌G2）!在处理一些同构问题时,我们也常常反过用这个定理,也就是说先构造出满同态.保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系,那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们.另外,群的自同构和自同态也是研究群的重要手段