题目

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

（1）如果正方形边长为2，M为CD边中点．求EM的长．
（2）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；
（3）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

提问时间：2021-02-19

答案

证明：（1）DE为x，则DM=1，EM=EA=2-x，
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE²+DM²=EM²
x²+1²=（2-x）²
x=

3

4

，
∴EM=

5

4

．
（2）设正方形的边长为2，由（1）知，DE=

3

4

，DM=1，EM=

5

4

∴DE：DM：EM=3：4：5；
（3）△CMG的周长与点M的位置无关．
证明：设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴

CG

DM

＝

CM

DE

＝

MG

EM

即

CG

x

=

2a−x

y

=

MG

2a−y

，
∴CG=

x(2a−x)

y

，MG=

(2a−x)(2a−y)

y

，
△CMG的周长为CM+CG+MG=

4a2−x2

y

在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
即x²+y²=（2a-y）²
整理得4a²-x²=4ay，
∴CM+MG+CG=

4ay

y

=4a．
所以△CMG，的周长为4a，与点M的位置无关．