题目

在锐角△ABC中,角A/B/C的对边分别为a、b、c,已知(b²+c²-a²)tanA=√3bc
（1）求角A （2）若a=2,求△ABC面积s的最大值

提问时间：2021-02-19

答案

1.
(b²+c²-a²)tanA=√3bc
(b²+c²-a²)/(2bc)=(√3/2)/tanA=(√3/2)cosA/sinA
由余弦定理得
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
cosA=(√3/2)cosA/sinA
cosA[1-(√3/2)/sinA]=0
A为三角形内角,cosA≠0
1-(√3/2)/sinA=0
sinA=√3/2
三角形为锐角三角形,A=π/3
2.
S△ABC=(1/2)bcsinA
由均值不等式得,当b=c时,bc取得最大值,此时B=C,又A=π/3
B=C=(π- π/3)/2=π/3=A
b=c=a=2
此时三角形面积有最大值(S△ABC)max=(1/2)×2×2×(√3/2)=√3