题目

过原点的直线与圆x²+y²-6x+5=0相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

提问时间：2021-02-19

答案

设圆x²+y²-6x+5=0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，
①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，则有k_CMk_AB=-1，
∴

y

x−3

×

y

x

＝−1（x≠3，x≠0），
化简得x²+y²-3x=0（x≠3，x≠0），
②当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意，
③当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意，
解方程组

x2+y2−3x＝0 x2+y2−6x+5＝0

得x＝

5

3

，y＝±

2

3

5

，
∴点M的轨迹方程是x²+y²-3x=0（

5

3

＜x≤3）．

根据圆的特殊性，设圆心为C，则有CM⊥AB，当斜率存在时，k_CMk_AB=-1，斜率不存在时加以验证．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．