题目

如图，已知BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．

提问时间：2021-02-19

答案

证明：在BC上截取BE=BA，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中

BA=BD ∠ABD=∠EBD BD=BD

，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠A=∠1，DA=DE，
又∵AD=DC，
∴DE=DC，
∴∠C=∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠C=180°．

在BC上截取BE=BA，如图由角平分线定义得到∠ABD=∠EBD，则可根据“SAS”判断△ABD≌△EBD，得到∠A=∠1，DA=DE，由于AD=DC，所以DE=DC，根据等腰三角形的性质得∠C=∠2，然后利用∠1+∠2=180°即可得到∠A+∠C=180°．

本题考点：全等三角形的判定与性质

考点点评：本题考查了全等三角形的判断与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．