题目

设函数f(x)＝

sinx

2+cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

提问时间：2021-02-19

答案

（Ⅰ）f′(x)＝

(2+cosx)cosx−sinx(−sinx)

(2+cosx)2

＝

2cosx+1

(2+cosx)2

．（2分）
当2kπ−

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

（k∈Z）时，cosx＞−

1

2

，即f'（x）＞0；
当2kπ+

2π

3

＜x＜2kπ+

4π

3

（k∈Z）时，cosx＜−

1

2

，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一个区间(2kπ−

2π

3

，2kπ+

2π

3

)（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间(2kπ+

2π

3

，2kπ+

4π

3

)（k∈Z）是减函数．（6分）
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），则g′(x)＝a−

2cosx+1

(2+cosx)2

=a−

2

2+cosx

+

3

(2+cosx)2

=3(

1

2+cosx

−

1

3

)2+a−

1

3

．
故当a≥

1

3

时，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
当0＜a＜

1

3

时，令h（x）=sinx-3ax，则h'（x）=cosx-3a．
故当x∈[0，arccos3a）时，h'（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上单调增加．
故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，当x∈（0，arccos3a）时，f(x)＝

sinx

2+cosx

＞

sinx

3

＞ax．
当a≤0时，有f(

π

2

)＝

1

2

＞0≥a•

π

2

．
因此，a的取值范围是[

1

3

，+∞)．（12分）

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）令g（x）=ax-f（x），根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何x≥0，都有g（x）≥0恒成立，再利用分类讨论的方法求出a的范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评：本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．