题目

y=ln(x+a)+x^2若y有极值,求a的范围,并证明所有极值和大于ln(e/2)

提问时间：2021-02-19

答案

对f(x)=ln(x+a)+x^2求导得：
f'(x)=1/(x+a)+2x
令f'(x)=0 化简得到关于x的方程x^2+ax+1/2=0 [*].当方程有解时,设它的两个根是p,q,由根与系数关系：p+q=-a,pq=(1/2)
要使方程有解必须使a^2-4*1*(1/2)>=0
即|a|>=根号2;
还要使x+a=-1/(2x)>0（使对数式有意义）,所以方程至少有一个负根,而由pq＝1/2知道两根同号,由p+q＝-a知道a必须是正数
所以a的取值范围是a>=根号2.
若a＝根号2,方程[*]只有一个根(是重根）p＝q＝（根号2）/2,此时极值之和为f（（根号2）/2）＝（1/2）ln（e/2)根号2时,p不等于q,极值之和
f(p)+f(q)
=ln(p+a)+p^2+ln(q+a)+q^2
=ln[(p+a)(q+a)]+p^2+q^2
=ln[pq+a(p+q)+a^2]+(p+q)^2-2pq
=ln[(1/2)+a(-a)+a^2]+(-a)^2-2*(1/2)
=ln(1/2)+a^2-1
>ln(1/2)+2-1=ln(e/2)