题目

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在点P使

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，则该椭圆的离心率的取值范围为（　　）
A. （0，

2

-1）
B. （

2

2

，1）
C. （0，

2

2

）
D. （

2

-1，1）

提问时间：2021-02-19

答案

在△PF₁F₂中，由正弦定理得：

PF2

sin∠PF1F2

=

PF1

sin∠PF2F1

则由已知得：

a

PF2

=

c

PF1

，
即：aPF₁=cPF₂
设点P（x₀，y₀）由焦点半径公式，
得：PF₁=a+ex₀，PF₂=a-ex₀
则a（a+ex₀）=c（a-ex₀）
解得：x₀=

a(c-a)

e(c+a)

=

a(e-1)

e(e+1)

由椭圆的几何性质知：x₀＞-a则

a(e-1)

e(e+1)

＞-a，
整理得e²+2e-1＞0，解得：e＜-

2

-1或e＞

2

-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈（

2

-1，1），
故选D．

由“

a

sin∠PF1F2

＝

c

sin∠PF1F2

”的结构特征，联想到在△PF₁F₂中运用由正弦定理得：

PF2

sin∠PF1F2

＝

PF1

sin∠PF2F1

两者结合起来，可得到

a

PF2

＝

c

PF1

，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex₀）=c（a-ex₀）解出x₀，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．

本题考点：正弦定理；椭圆的简单性质．

考点点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．