题目

对于函数f(x),存在x属于R,使f(x)=x成立,则称x为不动点,已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a0不等于)
速回答
求 对任意b f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围 括号的内容是 a不等于0

提问时间：2021-02-18

答案

对任意b,令f(x)=x,得到：
ax2+(b+1)x+b-1=x
→ax^2+bx+b-1=0
对于这个方程,△=b^2-4a(b-1),
因为f(x)恒有两个相异的不动点,所以：
令△=b^2-4a(b-1)＞0
①b=1时,△=b^2=1＞0,符合,此时,a∈R；
②1＜b＜2时,由△=b^2-4a(b-1)＞0,得到：
a＜b^2/4(b-1),
对于b^2/4(b-1),求导：
得b（b-2）/（b-1）^2＜0,即此时函数b^2/4(b-1)递减,
其最小值在b=2处取得,为：
min=2^2/4(2-1)=1,
所以,此时,a＜1；
③b＞2时,同样得到：
a＜b^2/4(b-1),
对于b^2/4(b-1),求导可知,此时b^2/4(b-1)递增 !
所以,其最小值也在b=2处得到,同样得到：a＜1；
④0＜b＜1时,由△=b^2-4a(b-1)＞0得到：
a＞b^2/4(b-1),求导判断：此时函数b^2/4(b-1)递减；
⑤b＜0时,由△=b^2-4a(b-1)＞0得到：
a＞b^2/4(b-1),求导判断：此时函数b^2/4(b-1)递增；
由④和⑤→当b＜1时,b^2/4(b-1)的最大值在b=0处取得,即：
max=0,所以此时：a＞0
综上：0＜a＜1