题目
已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0．
提问时间：2021-02-18
答案
证明：先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再证充分性：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0
即：（a2-ab+b2）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a2-ab+b2=(a-
b)2+
b2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再证充分性：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0
即：（a2-ab+b2）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a2-ab+b2=(a-
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∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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