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题目
已知抛物线y=-x2+2x+m-1与x轴有两个交点A、B.
(1)求m的取值范围;
(2)如果点A的坐标为(-1,0),求此抛物线的解析式,并求出顶点C的坐标;
(3)在第(2)小题的抛物线上是否存在一点P(与C点不重合)使S△PAB=S△CAB?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

提问时间:2021-02-18

答案
(1)∵抛物线与x轴有两个交点,
∴△>0,
即b2-4ac=22-4×(-1)×(m-1)=4+4m-4=4m>0,
解得m>0;
(2)∵A的坐标为(-1,0),
∴-(-1)2+2×(-1)+m-1=0,
解得m=4,
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+4-1=-x2+2x+3,
即y=-x2+2x+3,作业帮
∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+3+1=-(x-1)2+4,
∴顶点C的坐标为(1,4);
(3)存在点P(1-2
2
,-4)或(1+2
2
,-4).
理由如下:∵△PAB和△CAB都以AB为底边,
∴只要AB边上的高相等,则面积相等,
根据(2),点C的坐标为(1,4),
∴点C到AB的距离为4,
∴可以找到在x轴下方的点P,使S△PAB=S△CAB,此时点P的纵坐标为-4,
-x2+2x+3=-4,
整理得,x2-2x-7=0,
解得x=
-b±
b2-4ac
2a
=
-(-2)±
(-2)2-4×1×(-7)
2×1
=1±2
2

∴存在点P(1-2
2
,-4)或(1+2
2
,-4)使S△PAB=S△CAB
(1)根据抛物线与x轴有两个交点,判别式△>0,列式求解即可;
(2)把点A的坐标代入进行计算求出m的值,再把m的值代入抛物线解析式整理即可得解,把解析式配方写成顶点式,写出点C的坐标即可;
(3)根据同底等高的三角形面积相等可得点P到x轴的距离等于点C到x轴的距离,再根据点P在x轴下方,把点P的纵坐标代入抛物线解析式求出点P的横坐标即可得解.

二次函数综合题.

本题综合考查了二次函数,根的判别式的应用,待定系数法求二次函数解析式,同底等高的三角形的面积相等的性质,把点A的坐标代入抛物线解析式求出m的值是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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