题目

请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=______，且∠DON=______度．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=______，且∠EON=______度．
（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______．

提问时间：2021-02-18

答案

（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
在△ABN和△BCM中，

AB＝BC ∠A＝∠ABC AN＝BM

，
∴△ABN≌△BCM，（2分）
∴∠ABN=∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC=60°，
∴∠BCM+∠OBC=60°，
∴∠NOC=60°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠ABN=90°，AD=AB，
又∵AM=BN，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴AN=DM，∠ADM=∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD=90°，
∴∠BAN+∠AMD=90°
∴∠AOM=90°；即∠DON=90°．
（3）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=∠B，AB=AE，
又∵AM=BN，
∴△ABN≌△EAM，
∴AN=ME，
∴∠AEM=∠BAN，
∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°；
（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角

(n−2)•180°

n

．（10分）
注：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分．本题结论着重强调角和角的度数．

（1）利用△ABC是正三角形，可得∠A=∠ABC=60°，AB=BC，又因BM=AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN=∠BCM，所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°；
（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM，∠DON=90°；
（3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN=EM，∠EON=108°；
（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角

(n−2)•180°

n

．（10分）

本题考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质；正多边形和圆．

考点点评：本题需仔细分析图形，利用三角形全等即可解决问题，本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．