题目
试求7的7次方的7次方..7(很多个7的7次方)的末两位数
提问时间:2021-02-18
答案
这个数列相当于a[1] = 7,a[n] = 7^a[n-1] (n > 1).
求a[n]末两位数,即求a[n]除以100的余数.
首先证明对任意n,a[n] ≡ -1 (mod 4).
对n = 1,a[1] = 7 ≡ -1 (mod 4).
而对n > 1,由a[n-1]为奇数,a[n] = 7^a[n-1] ≡ (-1)^a[n-1] = -1 (mod 4).
因此a[n] ≡ -1 (mod 4)对任意正整数n成立,即a[n]-3是4的倍数.
又注意到7^4 = 2401 ≡ 1 (mod 100),于是对任意正整数k,有7^(4k) ≡ 1 (mod 100).
因此对n > 1,a[n] = 7^a[n-1] = 7^(a[n-1]-3)·7³ ≡ 7³ = 343 ≡ 43 (mod 100).
即n > 1时,a[n]的末两位数恒为43.
求a[n]末两位数,即求a[n]除以100的余数.
首先证明对任意n,a[n] ≡ -1 (mod 4).
对n = 1,a[1] = 7 ≡ -1 (mod 4).
而对n > 1,由a[n-1]为奇数,a[n] = 7^a[n-1] ≡ (-1)^a[n-1] = -1 (mod 4).
因此a[n] ≡ -1 (mod 4)对任意正整数n成立,即a[n]-3是4的倍数.
又注意到7^4 = 2401 ≡ 1 (mod 100),于是对任意正整数k,有7^(4k) ≡ 1 (mod 100).
因此对n > 1,a[n] = 7^a[n-1] = 7^(a[n-1]-3)·7³ ≡ 7³ = 343 ≡ 43 (mod 100).
即n > 1时,a[n]的末两位数恒为43.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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