题目

微分方程问题
求xy'^2-2yy'+x=0的通解

提问时间：2021-02-18

答案

∵xy'^2-2yy'+x=0
∴y'=[y±√(y²-x²)]/x (解关于y'的方程)
=(y/x)±√[(y/x)²-1].(1)
设y/x=t,则y=xt,y'=t+xdt/dx
代入(1)得t+xdt/dx=t±√(t²-1)
==>xdt/dx=±√(t²-1)
==>dt/√(t²-1)=±dx/x
==>ln│t+√(t²-1)│=±ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>ln│[y+√(y²-x²)]/x│=±ln│x│+ln│C│
∴ln│[y+√(y²-x²)]/x│=ln│x│+ln│C│,或ln│[y+√(y²-x²)]/x│=-ln│x│+ln│C│
故原方程的通解是y+√(y²-x²)=Cx²,或y+√(y²-x²)=C （C是积分常数）.