题目

函数 (10 22:3:11)
已知函数F(X)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d可以分解成一个奇函数f(x)和一个偶函数g(x)之和.
1.若g(x)在[1,+∽]上单调递增,求实数b的取值范围
2.若g(x)在x=1处有极值-1.且c=-3a,求F(X）在[0,1]上的最大值M(a)

提问时间：2021-02-17

答案

F(X)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
奇函数f(x)＝ax^3+cx
偶函数g(x)＝x^4+bx^2+d
1.若g(x)在[1,+∽]上单调递增
g(x)＝x^4+bx^2+d
g'(x)=4x^3+2bx
g(x)在[1,+∽]上单调递增,则g'(x)在[1,+∽）上>0
即4x^3+2bx>0,其中x在[1,+∽）上
4x^3+2bx>0,2bx>-4x^3,x在[1,+∽）,
b>-2x^2,x在[1,+∽）,-2x^2-2即可
2.若g(x)在x=1处有极值-1.且c=-3a,求F(X）在[0,1]上的最大值M(a)
g(x)＝x^4+bx^2+d ,g(x)在x=1处有极值-1 ,g(1)=-1,即1+b+d=-10
g'(x)=4x^3+2bx,g(x)在x=1处有极值-1 ,g'(1)=0,即4＋2b=0,b=-2
1+b+d=-10.得d=-9.g(x)＝x^4-2x^2-9
F(X）=x^4+ax^3-2x^2-3ax-9
F'(X）=4x^3+3ax^2-4x-3a=(4x+3a)(x^2-1)=(4x+3a)(x-1)(x+1)
有三个根 -3a/4,1,-1
1\当-3a/43/4时,
（－∽,-3a/4）,（－1,-1）均递减,其余区间增,
此时（0,1）最大值为F（0）＝M(a)
2\当-3a/4>1时,即a