题目
怎么证明函数y=x+1/x在区间{1,+∞)上是增函数
步骤要清楚,要一步一步写清楚,
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提问时间:2021-02-17
答案
证明:设x1>x2>1
f(x1)-f(x2)
=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)
=(x1^2+1)/x1-(x2^2+1)/x2=(x1^2x2+x2-x1x2^2-x1)/(x1x2)
=[x1(x1x2-1)-x2(x1x2-1)]/(x1x2)=[(x1x2-1)(x1-x2)]/(x1x2)
因为:x1>x2>1,所以:x1x2>1,x1-x2>0
所以:f(x1)>f(x2)
所以函数在[1,+∞)上是增函数.
f(x1)-f(x2)
=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)
=(x1^2+1)/x1-(x2^2+1)/x2=(x1^2x2+x2-x1x2^2-x1)/(x1x2)
=[x1(x1x2-1)-x2(x1x2-1)]/(x1x2)=[(x1x2-1)(x1-x2)]/(x1x2)
因为:x1>x2>1,所以:x1x2>1,x1-x2>0
所以:f(x1)>f(x2)
所以函数在[1,+∞)上是增函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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