题目

求使

x

+

y

≤a

x+y

（x＞0，y＞0）恒成立的a的最小值．

提问时间：2021-02-16

答案

由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，
得：x+y+2

xy

≤a²（x+y），即2

xy

≤（a²-1）（x+y），①
∴x，y＞0，∴x+y≥2

xy

，②
当且仅当x=y时，②中有等号成立．
比较①、②得a的最小值满足a²-1=1，
∴a²=2，a=

2

（因a＞0），
∴a的最小值是

2

．

先将题设的不等式平方后，同时利用基本不等式综合可求得a的最小值满足的等式求得a．

本题考点：不等式的综合．

考点点评：本题主要考查了基本不等式的综合．（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．