题目
如图所示，一个质量为m，带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC．为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力，试求：
（1）画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹．
（2）该粒子在磁场里运动的时间t．
（3）该正三角形区域磁场的最小边长．
（1）画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹．
（2）该粒子在磁场里运动的时间t．
（3）该正三角形区域磁场的最小边长．
提问时间：2021-02-16
答案
（1）由洛伦兹力提供向心力得：qvB=
，
且周期T＝
T＝
＝
，
得轨道半径r＝
，
周期：T＝
由题意知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图作出
（2）粒子的运动轨迹为圆弧GDEF，圆弧在G点与初速度方向相切，在F点与射出的速度方向相切，画出三角形abc，其与圆弧在D、E点相切，并与圆O交与F、G两点，即为所求最小磁场区域，由数学知识可知，∠FOG=60°该粒子在此磁场里运动的时间：
t＝
T＝
；
（3）aH为底边cb上的高，aH=aO+OH=2r+rcos30°
则正三角形区域磁场的最小边长为：L＝
＝
，
解得L＝
(
| mv2 |
| r |
且周期T＝
| 2πr |
| v |
| 2πr |
| v |
| 2πm |
| qB |
得轨道半径r＝
| mv |
| qB |
周期：T＝
| 2πm |
| qB |
由题意知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图作出
（2）粒子的运动轨迹为圆弧GDEF，圆弧在G点与初速度方向相切，在F点与射出的速度方向相切，画出三角形abc，其与圆弧在D、E点相切，并与圆O交与F、G两点，即为所求最小磁场区域，由数学知识可知，∠FOG=60°该粒子在此磁场里运动的时间：
t＝
| 5 |
| 6 |
| 5πm |
| 3qB |
（3）aH为底边cb上的高，aH=aO+OH=2r+rcos30°
则正三角形区域磁场的最小边长为：L＝
| aH |
| cos30° |
| 2r+rcos30° |
| cos30° |
解得L＝
| mv |
| qB |
4
|