题目

证明：总存在只由0和1两个数组成的十进制数M,它是正整数N的倍数.
如题,如：
N=3,M=111；
N=4,M=100；
N=5,M=10；
N=6,M=1110；
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我知道你的意思：1,11,111,1111…中必有两个数模N余数相同（但是怎么证明得到呢），设其为a1和a2，则a2-a1=0(mod N)。
证明：假设序列1,11,111,1111…用A1~AN标识，下脚标N即为1的个数，如：A1=1,A2=11,A3=111…
其中没有一个是N的倍数，即AK mod N不等于0（K属于1~N），并且AK mod N的余数各不相同，设它们为a1,a2,a3,…,aN，但AK mod N的余数最多只有N-1个不同，则由鸽巢原理可知，a1,a2,a3,…,aN中必有两个相同，即ai=aj(j>i)，则Aj-Ai=0(mod N)，Aj-Ai即为所求的0和1组成的十进制数M，得证。

提问时间：2021-02-16

答案

设数组1,11,111,1111…其中必有两个数除以得余数相同!将两数作差即为所求数!