题目

已知数列{an}满足a1=5,a2=5,a(n+1)=an+6a(n-1),(n≥2,n属于正整数）,若数列{a(n+1)+入an}为等比数列.
1..求所有入值,并求数列{an}通项公式；
2.证：当k为奇数是,1/ak+1/a(k+1)

提问时间：2021-02-16

答案

对于a[n+1]=p*a[n]+q*a[n-1]的形式
可以列出一个辅助的方程来化简数列 x2=px+q 两个解为x=x1,x=x2
于是原数列可以变为a[n+1]-x1*a[n]=x2(a[n]+x1*a[n-1])
（1）对于此题：x2=x+6 解x1=-2,x2=3,于是a[n+1]+2*a[n]=3(a[n]+2*a[n-1])
数列{a[n+1]+2a[n]}为等比数列
所以a[n+1]+2a[n]=5*3^n → a[n+1]-3^(n+1)=-2(a[n]-3^n)
很容易求出a[n]=3^n+2*(-2)^(n-1)
（2）
当n=1时,1/a1+1/a2=2/52时
1/ak+1/a(k+1)
=1/(3^k+2^k)+1/(3^(k+1)-2^(k+1))
=(4*3^n-2^n)/((3^n+2^n)*(3^(n+1)-2^(n+1)))
而3^(n+1)-2^(n+1)=(3-2)(3^n+3^(n-1)*2+……+3^p*2^(n-p)+……+2^n)
>(2²+2²+……+2²) (n+1个2²)
>3(n+1)
所以
1/ak+1/a(k+1)