题目
设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根．
（1）求n的值；
（2）求证：f（1）≥2．
（1）求n的值；
（2）求证：f（1）≥2．
提问时间：2021-02-16
答案
（1）f′（x）=3x2+2mx+n．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数
∴当x=0时，f（x）取到极大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（2）∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=-
∵函数f（x）在[0，2]上是减函数，
∴x2=-
≥2
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数
∴当x=0时，f（x）取到极大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（2）∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=-
| 2m |
| 3 |
∵函数f（x）在[0，2]上是减函数，
∴x2=-
| 2m |
| 3 |
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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