题目

求所有正整数x，y，使得x²+3y与y²+3x都是完全平方数．

提问时间：2021-02-16

答案

令x²+3y=m²（1），
y²+3x=n²（2），
由于其对称性，可暂设x≥y，不失一般性．
由（1）式可知m＞x，
又因为m²=x²+3y＜x²+4x+4=（x+2）²，
所以，只有m=x+1，代入（1）得
3y=2x+1，
x=

(3y−1)

2

  （3）
将其代入（2）式得，
y²+

9

2

y-

3

2

=n²（4）
同理可以得
y＜n＜y+3，
故只有n=y+1或n=y+2
分别代入（4）式得，
y=1或，y=11，
由（3）式可得，x=1或x=16，
又因为x，y可互换，
故方程有三组解，即（1，1）；（16，11）；（11，16）