题目

数列{an}单调递增,满足a1=1,(an+1)四次方+(an)四次方+1=2[(an+1)²(an)²+(an+1)²+(an)²]
(1)求数列{an}的通项公式
(2)求数列{an/(2的n次方)}前n项的和
（所有的n+1都是下角标）

提问时间：2021-02-16

答案

（1）原式整理,因解分解后,
[a(n+1)^2+a(n)^2]^2-2[a(n+1)^2+a(n)^2]+1=4[a(n+1)(an)]^2
[a(n+1)^2+a(n)^2-1]^2=4[a(n+1)(an)]^2
[a(n+1)^2+a(n)^2-1]^2-4[a(n+1)(an)]^2=0
{a(n+1)^2+a(n)^2-1+2a(n+1)(an)}{a(n+1)^2+a(n)^2-1-2a(n+1)(an)}=0
a(n+1)^2+a(n)^2-1+2a(n+1)(an)=0 或 a(n+1)^2+a(n)^2-1-2a(n+1)(an)=0
[a(n+1)+a(n)]^2-1=0 或 [a(n+1)-a(n)]^2-1=0
由于是递增数列,所以
[a(n+1)+a(n)]^2>1,
所以[a(n+1)+a(n)]^2-1=0不成立,舍去,留下第二组.即
　[a(n+1)-a(n)]^2-1=0
（a(n+1)-a(n)+1 ）（a(n+1)-a(n)-1）=0
　　a(n+1)-a(n)+1=0或a(n+1)-a(n)-1=0
　　由于a(n+1)-a(n)>0,所以a(n+1)-a(n)+1=0不成立,舍去,留下：a(n+1)-a(n)-1=0
结论：经过层层选拔,精挑细选,化简为a(n+1)=a(n)+1,问题柳暗花明,原来是首项为1,公差为1的单调递增等差数列,简言之,就是正整数集合.
所以an=n,n为正整数.
　　（2）新数列bn=an/2^n=n/2^n是观察分母是等差数列,分子是等比数列,可以采用等比数列的求和公式法,即乘上公比后,错位相减法.
　　　　　　　　　Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
两边乘上公比1/2,　Sn/2=1/2^2+2/2^3+3/2^4+...+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
错位相减后,Sn-Sn/2=(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-1)+1/2^n)-n/2^(n+1)
Sn-Sn/2=(1-1/2^n)-n/2^(n+1)
Sn/2=1-1/2^n-n/2^(n+1)
Sn=2-1/2^(n-1)-n/2^n
完毕,坚持就是胜利,看似麻烦的题目,最后结果竟是如此简单,请批评指正.