题目

已知：如图所示，四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．

（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；
（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM形状又如何？说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=30°，∠ACD=45°，求四边形BNDM的各内角的度数．

提问时间：2021-02-16

答案

（1）四边形BNDM是平行四边形．
证明：如图1，
∵NO=MO，OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形．
（2）四边形BNDM是菱形
证明：如图2，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴MB=MA=MC=MD．
∵四边形BNDM是平行四边形（已证），
∴平行四边形BNDM是菱形．
（3）如图2，
∵∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°．
∵MB=MA=MC=MD，
∴∠MBA=∠MAB=30°，∠MDA=∠MAD=45°．
∴∠BMC=∠MBA+∠MAB=60°，∠DMC=∠MDA+∠MAD=90°．
∴∠BMD=∠BMC+∠DMC=60°+90°=150°．
∵四边形BNDM是菱形，
∴∠BND=∠BMD=150°，BN∥DM．
∴∠NBM+∠BMD=180°，∠BND+∠MDN=180°．
∴∠NBM=30°，∠MDN=30°．