题目

任意三角形,每个角的三等份线,交于三个点,证明三点组成的三角形是等边三角形.急用初中知识

提问时间：2021-02-16

答案

莫利定理　
http://baike.baidu.com/view/1686562.html
　
莫利定理（Morley's theorem）,也称为莫雷角三分线定理. 　　将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形. 　　该定理以其美妙和证明困难著称.到目前为止,已经有很多证明方法. 　　参考资料给出一种证明方法：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°. 　　证法一： 　　在△ABR中,由正弦定理,得AR=csinβ/sin(α+β). 　　不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AR= 　　（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= 　　2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）. 　　同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β) 　　在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ. 　　这是一个关于α,β,γ的对称式,同理可得PQ^2 ,PR^2 有相同的对称性,故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形. 　　证法二： 　　∵AE：AC=sinγ：sin（a+γ）, 　　AF：AB=sinβ：sin（a+β） , 　　AB：AC=sin3γ：sin3β, 　　∴AE:AF=（ACsin（a+γ）/sinγ）：（ABsin（a+β）/sinβ）, 　　而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ）, 　　∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β), 　　∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ, 　　同理∠CED=60°+a, 　　∴∠DEF=60°, 　　∴△DEF为正三角形.