题目

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的天宫一号点．已知函数f（x）=ax²+（b-7）x+18的两个天宫一号点分别是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）当函数f（x）的定义域是[t，t+1]（t＞0）时，f（x）的最大值为G（t），最小值为g（t），求H（t）=G（t）-g（t）的表示式．

提问时间：2021-02-16

答案

（1）依题意得f（-3）=-3，f（2）=2；
即9a+21-3b+18=-3，4a+2b-14+18=2，
解得a=-3，b=5
∴f（x）=-3x²-2x+18
（2）∵f（x）对称轴为 x＝−

1

3

＜0
∴f（x）在[t，t+1]（t＞0）内是单调减函数，
G(t)＝f(x)max＝f(t)＝−3t2−2t+18
g(t)＝f(x)min＝f(t+1)＝−3t2−8t+13
∴H（t）=G（t）-g（t）=6t+5