题目

数学求值题sin18°
当然不能用计算器,笔算出来,

提问时间：2021-02-15

答案

设sin18=x,cos36=cos2*18=1-2(sin18)^2=1-2x^2,(cos18)^2=1-x^2
sin36=2xcos18
sin18cos36+cos18sin36=cos36
x(1-2x^2) +2x(1-x^2)=1-2x^2
4x^3-2x^-3x+1=0
4x^3-2x^-2x-x+1=0 2x(2x^2-x-1)-(x-1)=0 2x(2x+1)(x-1)-(x-1)=0
(x-1)(4x+2x-1)=0
解此方程得：sin18=x=(-1+√5)/4 (x=(-1-√5)/4＜0舍去)
级别：大师
3月18日 23:26 ∵sin36°＝cos54°
即sin（2×18°）＝cos（3×18°）
2sin18°cos18°＝4(cos18°)^3－3cos18°
∵cos18°≠0
∴2sin18°＝4(cos18°)^2－3
整理得4(sin18°)＾2＋2sin18°－1＝0
解得sin18°＝（根号5－1）/4
解法2.令x = 18°
∴cos3x = sin2x
∴4(cosx)^3 - 3cosx = 2sinxcosx
∵cosx≠ 0
∴4(cosx)^2 - 3 = 2sinx
∴4sinx2 + 2sinx - 1 = 0,
又0 < sinx < 1
∴sinx = (√5 - 1)/4
即sin18° = (√5 - 1)/4.
解法3.作顶角为36°、腰长为1 的等腰三角形ABC,BD为其底角B的平分线,设AD = x
则AD = BD = BC = x,DC = 1 - x.
由相似三角形得：x2 = 1 - x
∴x = (√ 5 - 1)/2
∴sin18° = x/2 = (√5 - 1)/4.