题目

设0<θ<π/2,若曲线x²sinθ-y²cosθ=1和x²cosθ+y²sinθ=1有4个不同的交点,试确定θ的取值范围

提问时间：2021-02-15

答案

∵0＜θ＜π/2,∴－π/4＜θ－π/4＜π/4,且sinθ＞0、cosθ＞0.
∴由x^2sinθ－y^2cosθ＝1,得：x^2－y^2cotθ＝cscθ,
　由x^2cosθ＋y^2sinθ＝1,得：x^2＋y^2tanθ＝secθ.
∴y^2（tanθ＋cotθ）＝secθ－cscθ,
∴y^2（sinθ/cosθ＋cosθ/sinθ）＝1/cosθ－1/sinθ,
∴y^2［（sinθ）^2＋（cosθ）^2］＝sinθ－cosθ,
∴y^2＝sinθ－cosθ＝√2［sinθcos（π/4）－cosθsin（π/4）］＝√2sin（θ－π/4）.
∵x^2sinθ－y^2cosθ＝1、x^2cosθ＋y^2sinθ＝1有四个不同的交点,
∴y^2＝√2sin（θ－π/4）＞0,而－π/4＜θ－π/4＜π/4,∴0＜θ－π/4＜π/4,∴π/4＜θ＜π/2.
∴满足条件的θ的取值范围是（π/4,π/2）.