题目

一束平行光线从原点O（0,0）出发,经过直线l：8X=6Y=25反射后通过点P(-4,3),求反射光线与直线l的交点坐标
8X+6Y=25
朋友真不好意思.

提问时间：2021-02-15

答案

题目有问题吧!直线方程应该是8x-6y=25吧!
你打错了一个符号.
按照直线方程 8x-6y=25求解.
首先将直线化为点斜式
y=8/6 x-25/6
y=4/3 x-25/6
从这里得知此镜面的斜率k=4/3
下面过点O做镜面的垂线,l'
l'的斜率为k'
由于l'⊥l
所以k'*k=-1
k'=-1/k=-3/4
又由于直线l'过原点O
将点O(0,0)代入直线y=k'x+b
0=k'*0+b
b=0
于是过点O且垂直于直线l的直线l'的方程为
y=-3/4 x
与直线l：8x-6y=25联立,求出垂足Q
8x-18/4 x=25 (8-9/2)x=25 （5/2）x=25 x=10 y=-15/2
Q(10,-15/2）为垂足.
然后求点O,关于直线8x-6y=25的对称点O'
显然,将点Q延直线l'延长长一倍所得点就是O'
于是O'坐标为(20,-15)
做到这里,我们求出了原点O,关于直线l的对称点.
连接O'P就可得到反射光线的直线方程.
于是通过两点式方程的形式,写出反射光线方程为：
L:(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
即：(y+15)/(3+15)=(x-20)/(-4-20)
整理得：(y+15)/18=(x-20)/-24
24y+360=360-18x
24y=-18x
y=-3/4 x
此为反射光线方程.
下面求出交点坐标即可,这里我们不用常规解方程法求解.
我们发现.
y=-3/4 x 这个方程不光是反射线方程,同时也是过O点垂直于直线l的方程.
于是我们可以知道,其实这是一个垂直于镜面的反射过程,于是镜面过原点O的垂线的垂足Q,就是所求交点.
Q（10,-15/2)即为所求.
这里说一下,最后一步解方程组也可以求,不过前面已经算过了,不用麻烦了.
按照直线方程 8x+6y=25求解.
首先将直线化为点斜式
y=-8/6 x+25/6
y=-4/3 x+25/6
从这里得知此镜面的斜率k=-4/3
下面过点O做镜面的垂线,l'
l'的斜率为k'
由于l'⊥l
所以k'*k=-1
k'=-1/k=3/4
又由于直线l'过原点O
将点O(0,0)代入直线y=k'x+b
0=k'*0+b
b=0
于是过点O且垂直于直线l的直线l'的方程为
y=3/4 x
与直线l：8x+6y=25联立,求出垂足Q
8x+18/4 x=25 (8+9/2)x=25 （25/2）x=25 x=2 y=3/2
Q(2,3/2）为垂足.
然后求点O,关于直线8x-6y=25的对称点O'
显然,将点Q延直线l'延长长一倍所得点就是O'
于是O'坐标为(4,3)
做到这里,我们求出了原点O,关于直线l的对称点.
连接O'P就可得到反射光线的直线方程.两点分别为O'(4,3) P(-4,3)
于是通过两点式方程的形式,可以写出反射光线方程
但是这里我们不用两点式,因为O'和P明显关于原点O对称,他们的连线必然为
L:y=x
此L为反射光线方程.
下面求出交点坐标即可,
联立 y=x
8x+6y=25
有x=25/14 y=25/14
所以(25/14,25/14)为所求交点同时也为光线的反射点.