题目

若斜率为2的动直线l与抛物线x^2=4y相交于不同的两点AB,O为坐标原点
（1）若线段AB上的P点满足向量AP=向量PB,求动点P的轨迹方程
（2）对于（1）中的点P,若点O关于点P的对称点为Q且|向量OQ|≤4根号85,求直线L在y轴上截距的取值范围

提问时间：2021-02-15

答案

先画草图,再计算分析：
(1)P点为AB的中点,设A(x1,x1²/4)、B(x2,x2²/4),
计算得kAB=(x1+x2)/4=2,则P(4,(x1²+x2²)/8),
即P点的轨迹方程为x=4(y>4)；即P点方程为(4,y)(y>4)；
(2)设Q(x3,y3),则x3+0=2×4=8,y3+0=2×y,
即Q点的轨迹方程为x=8(y>8)；
而|向量OQ||≤4√85,则P点的轨迹方程x=4(y>4)的ymax=2√85,
则其y的取值范围为(4,2√85],而kL=2,
则其对应的直线L在y轴上截距的取值范围为(4-8,2√85-8],
即(-4,2√85-8].