题目

已知数列{an}中,a1=1,Sn是它的前n项和,S(n+1)=4an+2（n是正整数）
（1）设bn=a(n+1)-2an（n是正整数）,求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设cn=an/(2^n)（n是正整数）,求证：数列{cn}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式
有几个n、（n-1）是角标,

提问时间：2021-02-15

答案

1)
由S(n+1）=4an+2,知S(n）=4a(n-1)+2,两者相减,得
S(n+1)-S(n)=a(n+1)=4[an-a(n-1)]
由bn=a（n+1）-2an知,b(n-1)=an-2a(n-1)
因bn=a(n+1)-2an=4[an-a(n-1)]-2an=2an-4a(n-1)=2*b(n-1)
所以：bn是公比为2的等比数列,
由a1=1,s2=4a1+2,知a2=5,
从而b1=a2-2a1=5-2×1=3
因此bn=3*2^(n-1)
2）设cn=an/2^n,求证cn是等差数列
由cn=an/2^n,知an=2^n*cn,
且a(n+1)=2^(n+1)*c(n+1),a(n-1)=2^(n-1)*c(n-1),
由bn=2an-4a(n-1)=2*2^n*cn-4*2^(n-1)*c(n-1)=2^(n+1)*[cn-c(n-1)]=3*2^(n-1)
得cn-c(n-1)=3*2^(n-1)/2^(n+1)=3/4
同样有,
b(n+1)=2a(n+1)-4an=2*2^(n+1)*c(n+1)-4*2^n*cn=2^(n+2)*[c(n+1)-cn]=3*2^n
得c(n+1)-cn=3*2^n/2^(n+2)=3/4
由c(n+1)-cn=cn-c(n-1)=3/4知cn为一等差数列.
3）求an通项公式
由c1=a1/2^1=1/2及公差3/4知cn=1/2+3/4*(n-1)=3/4*n-1/4
则an=2^n*cn=2^n*(3/4*n-1/4)=(3n-1)*2^(n-2)