题目

已知函数f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．若n+3m²=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值．

提问时间：2021-02-15

答案

（1）当n+3m²=0时，f（x）=x²+mx-3m²lnx．
则f′(x)＝2x+m−

3m2

x

＝

2x2+mx−3m2

x

＝

(2x+3m)(x−m)

x

．
令f'（x）=0，得x＝−

3m

2

（舍），x=m．
①当m＞1时，

∴当x=m时，f_min（x）=2m²-3m²lnm．
令2m²-3m²lnm=0，得m＝e

2

3

．
②当0＜m≤1时，f'（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，当x=1时，f_min（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．
综上所述，所求m为m＝e

2

3

．

通过m，n的关系消去n，求出函数f（x）的导数，对m进行讨论探讨函数在x＞0时的单调性从而求出其最小值，建立关于m的方程，可求得m的值．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题考查学生会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握分类讨论的思想方法，是个中档题．