题目

已知数列an中,a1=1,且点P(an,an+1),在直线X-Y+1=0上,
设b(n)=1/a(n),Sn表示数列{bn}的前n项和,试问:是否存在关于n的整式g（n）,使得S1+S2+S3+…+Sn-1=[（Sn）-1]*g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g（n）的解析式,并加以证明；若不存在,说明理由.

提问时间：2021-02-14

答案

1、点坐标代入得：an-a（n+1）+1=0,a（n+1）=an+1,即an是等差数列,a1=1,d=1,an=n；
2、bn=1/an=1/n；
sn=1+1/2+1/3+…+1/n,
S1+S2+S3+…+Sn-1=1+（1+1/2）+（1+1/2+1/3）+…+（1+1/2+1/3+…+1/（n-1)）
=（n-1)+(n-2)/2+(n-3)/3+…+1/（n-1)
=(n/1-1)+(n/2-1)+(n/3-1)+…+(n/(n-1)-1)
=n(1/1+1/2+1/3+…+1/(n-1))-(n-1)
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]+n-1-(n-1)
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]
=n[(sn)-1]=g(n)；
所以,g（n）=n,解析式存在