题目

1.已知不等式(x+y)[(1/x)+(a/y)]≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.
2.若lgx+lgy=1,求(5/x)+(2/y)的最小值.
3.若0＜x＜1,a,b为常数,求[(a^2)/x]+[(b^2)/(1-x)]的最小值.
4.已知正数a,b满足a+b=1,y=(1/a)+(1/b)求y的最小值.
限今日解出,

提问时间：2021-02-14

答案

1.(x+y)[(1/x)+(a/y)]=1+a+ax/y+y/x,利用均值不等式
1+a+ax/y+y/x>=1+a+2根号(a),等号当ax/y=y/x时成立,要使得不等式(x+y)[(1/x)+(a/y)]≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a+2根号(a)>=9,由于1+a+2根号(a)对正实数a是递增的,故要求正实数a的最小值即满足1+a+2根号(a)=9,可解得a=4
2.由lgx+lgy=lgxy=1知：xy=10,利用均值不等式有：
5/x+2/y>=2根号（10/xy）=2,等号当5/x=2/y即2x=5y是成立
3.利用均值不等式
a^2/x+x(a+b)^2>=2*根号(a^2/x*x(a+b)^2)=2a(a+b).等号当x=a/(a+b)时成立
b^2/(1-x)+(1-x)(a+b)^2>=2b(a+b).等号当1-x=b/(a+b)时成立
所以两式相加得a^2/x+b^2/(1-x)+(a+b)^2>=2(a+b)^2
即y>=(a+b)^2
当x=a/(a+b)时等号成立
4.利用均值不等式
1=a+(1-a)>=2根号[a（1-a）],即a（1-a）=4,等号当
1/a=1/（1-a）即a=1/2时取到