题目

已知数列{An}中,A1=e,A2=e^2,且当x=e时,f(x)=1/2(An-an-1)x^2-(An+1-An)取得极值 求证数列{An+1-An}是等比
求证数列{An+1-An}是等比数列
当Bn=An*LnAn时,求数列Bn的前n项和Sn

提问时间：2021-02-14

答案

对f(x)求导,将x=e代入得{An+1-An}是等比,并且可以得到{An+1-An}的通项e^n+1-e^n.
接下来用叠加法：An+1-An=e^n+1-e^n
An-An-1=e^n-e^n-1
以此类推……
A2-A1=e^2-e
以上叠加后可得An=e^n (其实不用叠加,显然是这个答案……不过过程还是写上为好）
所以Bn=e^n*Lne^n,也就是Bn=n*e^n
Bn是一个等差乘等比的通项,所以可用q*Sn-Sn来解决（q是公比）
(e-1)Sn=-e-e^2-e^3-……-e^n+e^n+1
左右同除以e-1,可得Sn