题目

已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．

提问时间：2021-02-14

答案

设直角三角形的三边长分别为a，b，c（c是斜边），
则a+b+c=60．
∵a+b+c=60，
∴60=a+b+c<3c，
∴c>20．
∵a+b>c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c>2c，
∴c<30．
又∵c为整数，
∴21≤c≤29．
根据勾股定理可得：a²+b²=c²，把c=60-a-b代入，
化简得：ab-60（a+b）+1800=0，
∴（60-a）（60-b）=1800=2³×3²×5²，
∵a，b均为整数，
∴只可能是

60-a=23×5 60-b=32×5

或

60-a=2×52 60-b=22×32

解得

a=20 b=15

或

a=10 b=24.

，
∵三角形的外接圆的直径即为斜边长c，
∴当a=20，b=15时，c=25，三角形的外接圆的面积为

625π

4

，
当a=10，b=24时，c=26，三角形的外接圆的面积为169π．

设直角三角形的三边长分别为a，b，c（c是斜边），则a+b+c=60，下面先求c的值；由a+b+c=60得60=a+b+c＜3c，所以c＞20．由a+b＞c及a+b+c=60得60=a+b+c＞2c，所以c＜30．即可求得c的取值范围，然后由勾股定理可得ab-60（a+b）+1800=0，然后分析求得a，b的值，继而求得它的外接圆的面积．

本题考点：三角形边角关系；勾股定理；三角形的外接圆与外心．

考点点评：此题考查了直角三角形的性质、直角三角形外接圆的性质以及不等式的应用．此题难度较大，解题的关键是掌握三角形的外接圆的直径即为斜边长c，掌握不等式的应用．