题目

1.椭圆的内接矩形的四边是不是一定平行于X轴或Y轴?为什么?
2.△ABC的两个顶点坐标为B(0,6) C(0,-6) 另外两边AB AC的斜率乘积 是-4/9,求顶点A的轨迹方程为?
3.已知椭圆x^2/4 + y^2/3=1 的两个焦点为F1和F2,P是这个椭圆上一个动点,延长F1P到Q,使│PQ│=│F2P│,求Q的轨迹方程.

提问时间：2021-02-14

答案

（1）对于中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆是.矩形的两对顶点关于对角线交点中心对称,若对角线交点不在原点,则只可满足一组椭圆上的点关于此点中心对称（类似于圆中）因此矩形对角线交点必在原点.而矩形对角线相等,过椭圆中心的弦是渐变得,过椭圆中心相等的两弦必关于对称轴对称.所以椭圆的内接矩形的四边是不是一定平行于X轴或Y轴.
（2）实际这是个结论,过椭圆中心的弦与椭圆上任一异于弦端点的点连线斜率之积(若斜率存在)为定值,对于x^2/m+y^2/n=1(m>0,n>0)的椭圆此定值为-n/m.逆命题亦成立.但我仍证给你看：
设A(x,y)则[(y-6)/x][(y+6)/x]=-4/9(x≠0）
即(y^2-36)/x^2=-4/9
化简即为x^2/81+y^2/36=1(x≠0)
（3）F1是左焦点吧?那么F1(-1,0)
因为|F2P|+|F1P|＝4为定值,因此|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|F2P|=4
即Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆.
因此Q的轨迹方程为(x+1)^2+y^2=16