题目

关于序列傅立叶变换的问题：其频谱函数X（e^jw)书上说可以化为|X（e^jw)|e^jθ(w)
请高手解释一下,这是怎么换的,?另外前面的函数可以为负值,但是后面的函数好像永远为正啊,对吧?

提问时间：2021-02-13

答案

这个问题问得很好!其实X（e^jw)是e^jw的函数,而e^jw又是w的函数,根据函数传递的关系可以得到X（e^jw)是w的函数,但是为什么又不把X（e^jw)直接写成X（w)的形式呢?这主要是为了处理的方便,而又和复变函数联系起来.首先写成X（e^jw)可以知道它是以2*pi为周期的,其次,就是复变函数的知识了,主要是为了突出它是复数变量而已,什么是复变函数呢?就是z=x+i*y,W=f(z)的形式,把z看成一个复数形式的自变量,就和通常的有理实函数形式一样了,这时就可以用有理实函数的知识来处理它了,即这里X（e^jw)=X（z）,z=e^jw,我们想一下如果要分析级数的收敛性,这时当然就可以把z=e^jw展开,然后分别用实函数的级数把实部和虚部分开来处理,但是这就复杂化了,因为你相当于把复数函数级数的收敛性用实函数级数的知识给证明或推导了一遍,这没有必要,因为专门有人研究复数函数中级数的收敛性等相关知识,你就只要用这里面已经成熟的知识和定理作为你的理论支撑就行了.其实函数也是复函数的一种特殊情况而已,但是呢?人们最开始并部是以研究复数开始的,而是以实数开始研究的,等复数研究差部多了,再回头过渡到实数来研究,卡看哪些地方还有错误或改进的地方,这在哲学上叫“特殊——般—特殊的过程”.