题目

已知二次函数y=x²-（m²+8）x+2（m²+6），设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形？如果存在求m；若不存在说明理由．

提问时间：2021-02-13

答案

若△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC=90°，
设B、C两点的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0），x₁＜x₂，则x₁、x₂是方程x²-（m²+8）x+2（m²+6）=0的两个根，
∴x₁+x₂=m²+8，x₁•x₂=2（m²+6），
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴BC=x₂-x₁，
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（m²+8）²-8（m²+6），
=（m²+4）²，
∴BC=m²+4，
∵由抛物线的顶点坐标可知，A点的纵坐标为，

8(m2+6)−(m2+8)2

4

=2（m²+6）-

(m2+8)2

4

，
∴AD=

(m2+8)2

4

-2（m²+6），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=2AD，
∴m²+4=

(m2+8)2

2

-4（m²+6），
解得m²=-2＜0，m²=-4＜0，都无意义．
故答案为：不存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形．