题目

如图1,Rt△ABC与Rt△CDE,∠ABC=∠CDE=90°,BC=k•AB,CD=k•DE,M为AE中点,
探究：线段BM与DM的数量关系；

提问时间：2021-02-13

答案

BM＝DM.　证明如下：
延长AB至F,使FB＝AB、再延长ED至G,使GD＝ED.
∵BC＝kAB、CD＝kDE,∴BC/CD＝AB/DE,又∠ABC＝∠EDC,∴△ABC∽△EDC,
∴∠ACB＝∠ECD,∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCE＋∠BCD,∴∠ACD＝∠BCE.
∵AF⊥BC、AB＝FB,∴AC＝FC、∠ACB＝∠FCB,∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCE＋∠FCE,
∴∠BCE＋∠BCD＝∠ACD＋∠FCE,∴∠ECD＝∠ACD＋∠FCE.
∵GE⊥DC、GD＝ED,∴GC＝EC、∠GCD＝∠ECD,∴∠ACG＋∠ACD＝∠ECD,
∴∠ACG＋∠ACD＝∠ACD＋∠FCE,∴∠FCE＝∠ACG.
由EC＝AC、EC＝GC、∠FCE＝∠ACG,得：△FCE≌△ACG,∴FE＝AG.
∵B、M分别是AF、AE的中点,∴BM＝FE/2、∵M、D分别是AE、EG的中点,∴DM＝AG/2.
由FE＝AG、BM＝FE/2、DM＝AG/2,得：BM＝DM.