题目

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤5，则f（-3）的取值范围是______．

提问时间：2021-02-13

答案

∵f（x）=ax²+bx，
∴f（-1）=a-b，f（1）=a+b
由此可得不等式组

1≤f(−1)≤2 2≤f(1)≤5

即

1≤a−b≤2 2≤a+b≤5

设f（-3）=λf（-1）+μf（1），可得9a-3b=λ（a-b）+μ（a+b）
∴

λ+μ＝9 −λ+μ＝−3

，解之得

λ＝6 μ＝3

，得f（-3）=6f（-1）+3f（1），
∵1≤f（-1）≤2，∴6≤6f（-1）≤12，
同理可得6≤3f（1）≤15，两个不等式相加得：12≤6f（-1）+3f（1）≤27
即f（-3）的取值范围是[12，27]
故答案为：[12，27]

设f（-3）=λf（-1）+μf（1），根据二次函数解析式和比较系数法，解出λ=6且μ=3，再根据不等式的基本性质将同向不等式相加，即可得到f（-3）的取值范围．

本题考点：不等式的综合；简单线性规划．

考点点评：本题给出二次函数，在已知f（-1）和f（1）的取值范围情况下求f（3）的取值范围，着重考查了比较系数法和二元一次不等式的解法等知识，属于中档题．