题目

已知在数列{An}中,a1=3,A(n+1)=cAn+d(c,d实常数) (1)当c=1d=1时,求数列An的通项公式（2）
已知在数列{An}中,a1=3,A(n+1)=cAn+d(c,d实常数)
(1)当c=1d=1时,求数列An的通项公式（2）当c=2 d=-1时,设Bn=An-1,证明数列{Bn}是等比数列（3）在（2）的条件下,记Cn=1/An,Sn=c1+c2+c3+.Cn.证明Sn＜1

提问时间：2021-02-12

答案

(1)c=d=1,
a(n+1)=a(n)+1,
{a(n)}是首项为a(1)=3,公差为1的等差数列.
a(n)=3+(n-1)=n+2.
(2)c=2,d=-1.
a(n+1)=2a(n)-1,
a(n+1)-1 = 2[a(n)-1],
b(n+1)=2b(n),
{b(n)=a(n)-1}是首项为b(1)=a(1)-1=2,公比为2的等比数列.
b(n)=a(n)-1=2*2^(n-1)=2^n,
a(n) = 1 + 2^n,
c(n) = 1/a(n) = 1/[1+2^n] < 1/2^n,
s(n)=c(1)+c(2)+...+c(n) < 1/2 + 1/2^2 + ...+ 1/2^n = (1/2)[1+1/2 + ...+ (1/2)^(n-1)]
=(1/2)[1 - (1/2)^n]/(1-1/2)
= 1 - 1/2^n
< 1