题目

主要是椭圆与导数
有好几个问题的～想要详细的解题思路与过程……（有些数学符号不会打,所以用中文代替了……）
1.已知P是椭圆X平方/9 ＋Y平方/4＝1 上的点,且∠F1PF2＝90°,求三角形F1PF2面积?
2.设a∈R,若函数y＝e的x次方＋ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围?
3.函数f(x)＝x的三次方－3bx＋3b在（0,1）内有极小值,则b的取值范围?
4.y＝ax的平方(只是x的平方）＋1的图像与直线y=x相切,则a的值为?
5.已知函数f(x)=ax－lnX,若f(x)>1在区间（1,＋∞）内恒成立,则实数a的范围?

提问时间：2021-02-12

答案

1.
设PF1=m,PF2=n.三角形F1PF2面积=mn/2
则有m+n=PF1+PF2=2a=6
PF1*PF1+PF2*PF2=F1F2*F1F2（勾股定理）
则有m*m+n*n=4c*c=4*5=20
2mn=(m+n)*(m+n)-m*m+n*n=6*6-20=16
三角形F1PF2面积=mn/2=4
2.
令y'=e^x+a=0
x=ln(-a)>0
有a<0
3.
令f'(x)=3x*x-3b=0
得x=±√b显然有b>0
要使x在(0,1)内有极小值,有
0<√b<1得到0且f''(x)=6x在x=√b处大于0.（显然成立）
故有04.
y'=2ax
故联立如下两方程
x=a*x*x+1
2ax=1
解得
x=2,a=1/4.
5.
f'(x)=a-1/x
当x>1时,0<1/x<1
(1)
a>=1时,f'(x)>0,函数单调递增.
f(x)>f(1)=a.即f(x)的在区间(1,＋∞)极限最小值为a,但不取到a.
由f(x)>1恒成立,得a<=1.故此时只有a=1.
(2)
00,解得x>1/a.
即函数在(1,1/a)上单调递减,在(1/a,＋∞)单调递增.
f(x)最小值为f(1/a)=1-ln(1/a)<1,故不能保证f(x)>1.
(3)
a<=0时,f'(x)<0,函数单调递减.
显然不能保证f(x)>1.
综上,a=1.