题目

威尔逊定理的内容

提问时间：2021-02-12

答案

威尔逊定理
若p为质数,则p可整除(p-1)!+1.
证明如下
p=2,命题显然成立；
p=3,命题显然成立；
对于奇质数p>=5,令a∈A={2,3,4.p-2},则B={a,2a,3a,.,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除,而a|α-β|∈B,B中的元素不可能被p除尽.于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.
假设B中被p除余一的数是γa:
一若γ=1,则γa=a,它被p除余a,所以γ=1不成立；
二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余p-a,所以γ=p-1不成立；
三若γ=a,则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p),故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾,故不成立；
有一二三知γ≠a且a,γ∈A.
a不同时,γ也相异；若a1≠a2,a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p）,因,γa1,γa2∈B,而B中的元素关于mod p不同余,可见a1≠a2,则γ1≠γ2.
即A中的每一个a均可找到与其配对的y,γ∈A使ay≡1(mod p),
又,a不同时,γ也相异.
因此,A中的偶数个（p-3个）元素可以分成(p-3)/2个二元组（a,y）,每个二元组都满足ay≡1(mod p),
∴ 1×2×3×4.(p-2)≡1(mod p) p-1≡-1(mod p)
∴ (p-1)!≡-1(mod p)
从而p可整除(p-1)!+1
对于偶质数2,命题显然成立；
对于奇质数,令a∈A={2,3,4.p-2},则B={a,2a,3a,.,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除,而a|α-β|∈B,B中的元素不可能被p除尽.于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.
假设b中被p除余一的数是γa:
一若γ=1,则γa=a,它被p除余a,所以γ=1不成立；
二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余a,所以γ=p-1不成立；
三若γ=a,则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p),故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾,故不成立；
有一二三知γ≠a且a∈A.
a不同时,γ也相异；若a1≠a2,a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p）,因,γa1,γa2∈B,而B中的元素关于mod p不同余,可见a1≠a2,则γ1≠γ2.
依次取a为2,3,...,(p-1)/2;使γa≡1（mod p)的数γ分别为(p-1)/2+1,(p-1)/2+2,...,(p-1)/2,
即2*【(p-1)/2+1】≡3*【(p-1)/2+2】≡4*【(p-1)/2+3】≡...【(p-1)/2】*(p-2)≡1(mod p)
从而2*【(p-1)/2+1】*3*【(p-1)/2+2】*4*【(p-1)/2+3】*...*【(p-1)/2】*(p-2)≡1(mod p) 2*3*4*5*6*...*(p-2)≡1(mod p) 又p-1≡-1(mod p),则
(p-1)!=1*2*3*4*5*...*(p-2)*(p-1)≡-1(mod p)
从而p可整除(p-1)!+1