题目

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．
（1）求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；
（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明．

提问时间：2021-02-12

答案

（1）证明：如图1
∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCB．
又∵BC=CB，AB=DC，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠1=∠2．
又∵GE∥AC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴EG=BG．
∵EG∥OC，EF∥OB，
∴四边形EGOF是平行四边形．
∴EG=OF，EF=OG．
∴四边形EGOF的周长=2（OG+GE）=2（OG+GB）=2OB
（2）方法1，如图2，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC上一个动点，（点E不与B、C两点重合）EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G
求证：四边形EFOG的周长等于2OB．
方法2：如图3，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC上一个动点，（点E不与B、C两点重合）EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G
求证：四边形EFOG的周长等于2OB．