题目

已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．
（Ⅰ）求d的值；
（Ⅱ）若a=3，f（-1）=0，求c的取值范围．

提问时间：2021-02-12

答案

解（Ⅰ）设x₀是f（x）=0的根，那么f（x₀）=0，则x₀是g（f（x））=0的根，则g（f（x₀））=0即g（0）=0，所以d=0．
（Ⅱ）若a=3，f（-1）=0，所以b-c=0，即f（x）=0的根为0和-1，
①当c=0时，则b=0这时f（x）=0的根为一切实数，而是g（f（x））=0，所以c=0符合要求．
当c≠0时，因为3（cx²+cx）²+c（cx²+cx）+c=0的根不可能为0和-1，所以3（cx²+cx）²+c（cx²+cx）+c必无实数根，
②当c＞0时，t=cx²+cx=c（x+

1

2

）²-

c

4

≥−

c

4

，即函数h（t）=3t²+ct+c在t≥-

c

4

，h（t）＞0恒成立，
又h（t）=3t²+ct+c=3（t+

c

6

）²-

c2

12

+c，
所以h（t）_min=h（−

c

6

）＞0，即-

c2

12

+c＞0，所以0＜c＜12；
③当c＜0时，t=cx²+cx=c（x+

1

2

）²-

c

4

≤-

c

4

，
即函数h（t）=3t²+ct+c在t≤-

c

4

，h（t）＞0恒成立，
又h（t）=3t²+ct+c=3（t+

c

6

）²-

c2

12

+c，
所以h（t）_min=h（−

c

4

）＞0，c²-16c＜0，而c＜0，舍去
综上，所以0≤c＜12．