题目

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：

（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）面BDC₁∥面AB₁D₁．

提问时间：2021-02-12

答案

证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁
连接AO₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体
∴A₁ACC₁是平行四边形
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO
∴AOC₁O₁是平行四边形
∴C₁O∥AO₁，AO₁⊂面AB₁D₁，C₁O⊄面AB₁D₁
∴C₁O∥面AB₁D₁；
（2）证明：

AB∥DC∥D′C′ AB＝DC＝D′C′

⇒ABC′D′是平行四边形，
∴⇒

BC′∥AD′ BC′⊄平面AB′D′ AD′⊂平面AB′D′

BC′∥平面AB′D′ ⇒同理，C′D∥平面AB′D′ BC′∩C′D＝C′

⇒平面C′DB∥平面AB′D′．

（1）由题意连接A₁C₁，先证明A₁ACC₁是平行四边形得A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC，再证AOC₁O₁是平行四边形，然后利用直线与平面平行的判定定理进行证明；
（2）因为AB∥CD∥D′C′，加上AB=CD=D′C′，可证ABC′D′是平行四边形，同理可证C′D∥平面AB′D′，从而求证．

本题考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．

考点点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面平行的判断，此类问题先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住．