题目
定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010x+log2010x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
提问时间:2021-02-12
答案
当x>0时,令f(x)=0得,即2010x=-log2010x,
在同一坐标系下分别画出函数f1(x)=2010x,f2(x)=-log2010x的图象,
如右图,可知两个图象只有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴当x<0时,方程f(x)=0也有一个实根,
又∵f(0)=0,
∴方程f(x)=0的实根的个数为3.
故选C.
在同一坐标系下分别画出函数f1(x)=2010x,f2(x)=-log2010x的图象,
如右图,可知两个图象只有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴当x<0时,方程f(x)=0也有一个实根,
又∵f(0)=0,
∴方程f(x)=0的实根的个数为3.
故选C.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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