题目

过椭圆C:x方/4+y方/2=1的左顶点A作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于P.Q两点,问直线P.Q是否过x轴上一定点,求出这个点,再求三角形APQ的面积最大值,

提问时间：2021-02-11

答案

x^2/4+y^2/2=1
左顶点A(-2,0)
直线分别为y=k(x+2) and y=-1/k(x+2)
交椭圆于k^2(x+2)^2/2+x^2/4=1
-->2k^2(x+2)^2+(x-2)(x+2)=0
-->2k^2(x+2)+x-2=0
-->x1=(2-4k^2)/(2k^2+1)
y1=4k/(2k^2+1)
x2=同理有=(2-4(-1/k)^2)/(2(-1/k)^2+1)
=(2k^2-4)/(k^2+2)
y2=-4k/(k^2+2)
x轴上一定点M:(t,0)
MP=λMQ
-->MP=((2-4k^2)/(2k^2+1)-t,4k/(2k^2+1))
MQ=(2k^2-4)/(k^2+2)-t,-4k/(k^2+2))
-->y1/y2=(x1-t)/(x2-t)
-->(-2k^2-2)/(k^2+2)(2k^2+1)=(3k^2+3)/(k^2+2)(2k^2+1)t
-->t=-2/3 过定点：(-2/3,0)
S=SΔMAP+SΔMAQ
=0.5(2-2/3)|y1-y2|
=0.5*4/3*(4k/(2k^2+1)+4k/(k^2+2))
=2/3*(4k(3k^2+3)/(2k^2+1)(k^2+2))
=8k(k^2+1)/(2k^2+1)(k^2+2)
求导可得取得最大值时,
-16k^6-8k^4+8k^2+2=0
-->k^2=1 -->k=1
S=8*2/3*3=16/9
打得我累死了,才做出来,请后面来的人不要抄袭啊.