题目

已知公差不为0的等差数列｛an｝满足a2=3,a1,a3,a7成等比数列 (1)求an的通项公式
已知公差不为0的等差数列｛an｝满足a2=3,a1,a3,a7成等比数列
(1)求an的通项公式
数列{bn}满足bn=an/an+1+an+1/an,求数列bn前n项的和Sn
设cn=2∧n(an+1/n-λ)若数列cn是单调递减数列求λ的取值范围

提问时间：2021-02-11

答案

（Ⅰ）由题知 ax0523 =a1a7,设等差数列{an}的公差为d,
则(a1+2d)2=a1（a1+6d）,
a1d=2d2,∵d≠0
∴a1=2d． …（1分）
又∵a2=3,
∴a1+d=3a1=2,d=1…（2分）
∴an=n+1． …（3分）
（Ⅱ）∵bn= anx05an+1 + an+1x05an = n+1x05n+2 + n+2x05n+1 =2+ 1x05n+1 - 1x05n+2 ． …（4分）
∴Sn=b1+b2+…+bn=（2+ 1x052 - 1x053 ）+（2+ 1x053 - 1x054 ）+…+（2+ 1x05n+1 - 1x05n+2 ）=2n+ nx052(n+2) ． …（6分）
（ III）cn=2n（ an+1x05n -λ）=2n（ n+2x05n -λ）,使数列{cn}是单调递减数列,
则cn+1-cn=2n（ 2(n+3)x05n+1 - n+2x05n -λ）＜0对n∈N*都成立 …（7分）
即 2(n+3)x05n+1 - n+2x05n -λ＜0⇒λ＞( 2(n+3)x05n+1 - n+2x05n )max…（8分）
设f（n）= 2(n+3)x05n+1 - n+2x05n ,
f（n+1）-f（n）= 2(n+4)x05n+2 - n+3x05n+1 - 2(n+3)x05n+1 + n+2x05n
= 2(n+4)x05n+2 + n+2x05n - 3(n+3)x05n+1
=2+ 4x05n+2 +1+ 2x05n -3- 6x05n+1
= 2(2-n)x05n(n+1)(n+2) …（9分）
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
当n=2或n=3时,f（n）max= 4x053 ,
∴( 2(n+3)x05n+1 - n+2x05n )max= 4x053
所以λ＞ 4x053 ．